【論理学入門vol.1】論理学とその用語の説明

これから、数学における論理学を解説していきます。

この論理学、実は大学数学の土台そのもので、めちゃくちゃ重要です。

社会人で独学で大学数学を始めた私は、これを知らなかったため、けっこう苦労しました笑

「誰か最初に教えてくれー！」って、心の底から思いましたね。笑

なので、独学で大学数学を学習する方は、絶対に知って欲しい概念となります。

この記事では、論理学の中でも特に重要な命題・真理値・述語について、できるだけわかりやすく説明していきます。

論理学とは

数学における論理学とは、「正しい推論のルール」を扱う学問です。

たとえば、

「AがBであるならば、BはCである」
「したがって、AはCである」

こうした“筋道の通った考え方”を形式的に扱うのが、論理学の役割です。
つまり、論理学は数学の言語の文法のようなもの。

数学の証明などは、すべてこの論理学に則って記述されているのですね。

そこで論理学に重要なキーワードを解説していきます。

重要な用語の定義

命題（めいだい）と真理値（しんりち）

命題（めいだい）と真理値（しんりち）の定義をそれぞれ紹介します。

数学はすべて真か偽かを判断する学問です。

そのため、まずは真偽を判断できる文や式が存在し、それに対して、真偽を判定することが重要です。

逆をいえば、論理学においては、真か偽のどちらか一方に決まることが必要不可欠で、「どっちでもない」というのは許されません。

そして、真であることを「True」や「1」、偽であることを「false」や「0」と表現したりします。

真であり、偽であるは厳密には「矛盾」と言います。これはまた追って解説します。

数学では証明によって、真であるものが定理となって使える道具になっていくのです。

具体例をご紹介します。

命題（めいだい）と真理値（しんりち）の例

命題の例は以下の通りです。

• 「1＋1＝2」→真の命題
• 「2は偶数である」 → 真の命題
• 「3は偶数である」 → 偽の命題

「1＋1＝2」、「2は偶数である」 、「3は偶数である」 はすべて真か偽かを判断できる文になっていますね。

なので、命題となります。

そして、それぞれ真偽が定まっています。

逆に、命題じゃないものというのは、このような感じです。

• 「1＋1」
• 今日はいい天気だ
• 今日は暑い

「1＋1」はそもそも真偽の判断ができません。イメージするなら、「犬」とか「うんこ」と突然名詞を言われた感じなので、「だから何？」って感じです。

「1+1=3」と、＝などがあれば、これは真偽を判断する命題となります。（そしてこれは偽です）

「今日はいい天気だ」「今日は暑い」なども、いい天気、や暑い、は主観に依存するので、真偽の判断ができません。

例えば、雲ひとつない晴天で自分は「良い天気だ」と思っても、太陽の光が苦手なヴァンパイアからすれば「うわ、嫌な天気だー、引きこもろう」となるわけです。

つまり、

• 「1＋1」
• 今日はいい天気だ
• 今日は暑い

これらは命題ではないということなのですね。

↑これらの例はあくまで一事例に過ぎないので、ぜひみなさんオリジナルの事例なんかも考えてみてくださいね。

述語（じゅつご）

述語の特徴は変数を含むことです。

例えば、以下の文章を見てみましょう。

Xを自然数とする。
Xは偶数である

この文の真偽は、Xの値で変わりますよね。

X=2→真
X=3→偽
X=100→真
X=777→偽

という感じで、変数の中に入る数字次第で真偽が決まるのが述語なのですね。

術後の例は他にも、

• 「Xは素数である」
• 「YはXより大きい」
• 「Nは3の倍数である」
• 「X+1=3」

などいくらでもあります。

ちなみに、学生時代に学んだ「方程式 X+1=3を解け」という問題は、言い換えると「述語 X+1=3 が真となるようなXの値を求めよ」になります。

まとめ

今回の内容をまとめます。

用語	意味	例
命題	真か偽かが決まる文	「2は偶数である」
真理値	命題の真・偽の値	真 or 偽
述語	変数によって真偽が変わる文	「xは偶数である」

論理学はこのあと、「命題の結合」「否定・含意」「全称・存在」など、どんどん広がっていきます。

まずは、この命題・真理値・述語の3つをしっかり押さえるだけで、大学数学の理解がグッと深まります！